Предговор към второто издание . . . 7
Из предговора към първото издание . . . 8
Основни означения . . . 10
Първа глава. Уравнения от вида у' = F(х, у) . . . 11
. . . § 1. Увод . . . 11
. . . § 2. Основни дефиниции . . . 12
. . . § 3. Уравнения с разДелящи се променливи . . . 15
. . . § 4. Хомогенни уравнения . . . 28
. . . § 5. Линейни уравнения . . . 30
. . . § б. Уравнения на Бернули и Рикати . . . 32
. . . § 7. Уравнения)произхождащи от пълни диференциали. Интегриращ множител . . . 34
. . . § 8. Теорема за съществуване (теорема на Пеано) . . . 42
. . . § 9. Теорема за единственост . . . 51
. . . §10. Непродължими решения . . . 53
. . . §11. Снопове на Пеано. Горни и долни решения . . . 58
Втора глава. Уравнения от вида F(x, у, у') = 0 . . . 64
. . . § 1. Обикновени и особени точки. Основна теорема за редукция . . . 64
. . . § 2. Обвивки и особени решения . . . 73
. . . § 3. Уравнение на Клеро . . . 75
. . . § 4. Уравнение на Лагранж . . . 82
Трета глава. Линейни диференциални уравнения от 72-ти ред . . . 87
. . . § 1. Комплексни функции на реален аргумент . . . 87
. . . § 2. Линейни хомогенни уравнения . . . 91
. . . § 3. Формула на Лиувил . . . 96
. . . § 4. Линейни нехомогенни уравнения. Метод на Лагранж . . . 98
. . . § 5. Линейни уравнения с постоянни коефициенти . . . 102
. . . . . . 5.1. Случай на прости корени . . . 102
. . . . . . 5.2. Случай на многократни корени. Формула за отместване.... . . . 105
. . . . . . 5.3. Отделяне на реалните решения . . . 111
. . . § 6. Линейни нехомогенни уравнения с постоянни коефициенти. Квазиполиноми . . . 116
. . . § 7. Физически задачи, които водят до диференциални уравнения с постоянни коефициенти . . . 120
. . . § 8. Изследване на уравнението на хармоничния осцилатор . . . 124
. . . Допълнение: Диференциални уравнения, допускащи понижение на реда . . . 131
Четвърта глава. Нормални системи . . . 140
. . . § 1. Векторни функции на реален аргумент . . . 140
. . . § 2. Свеждане към нормални системи. Постановка на задачата на Коши . . . 145
. . . § 3. Основна теорема за съществуване и единственост . . . 147
. . . § 4. Непродължими решения. Теорема за компактите . . . 157
. . . § 5. Линейни системи . . . 163
. . . . . . 5.1. Теорема за съществуване и единственост . . . 163
. . . . . . 5.2. Хомогенни линейни системи . . . 166
. . . . . . 5.3. Нехомогенни системи. Метод на Лагранж . . . 172
. . . § 6. Първоначални сведения за линейните системи с постоянни кое­фициенти . . . 175
. . . . . . 6.1. Метод на изключването . . . 175
. . . . . . 6.2. Отделяне на реалните решения . . . 183
. . . . . . 6.3. Линейни нехомогенни системи с постоянни коефициенти . . . 186
. . . § 7. Непрекъснатост спрямо параметри и начални условия . . . 188
. . . . . . 7.1. Локална теорема за непрекъснатост . . . 188
. . . . . . 7.2. Глобална теорема за непрекъснатост . . . 192
. . . . . . 7.3. Неравенство на Гронуол. Непрекъснатост спрямо началните условия . . . 195
. . . § 8. Диференцируемост спрямо параметри и начални условия . . . 199
Пета глава. Линейни системи с постоянни коефициенти . . . 207
. . . § 1. Сведния от линейната алгебра . . . 207
. . . . . . 1.1. Смяна на променливите . . . 207
. . . . . . 1.2. Матрици и линейни оператори . . . 208
. . . . . . 1.3. Смяна на базата . . . 215
. . . . . . 1.4. Жорданова канонична форма . . . 218
. . . . . . 1.5. Реална жорданова форма . . . 221
. . . § 2. Експонента на матрица . . . 226
. . . . . . 2.1. Дефиниция и основни свойства . . . 226
. . . . . . 2.2. Функционално уравнение за експонента . . . 231
. . . . . . 2.3. Основни случаи, когато експонентата се пресмята просто. . . . . 234
. . . § 3. Приложения . . . 240
. . . . . . 3.1. Уравнения с постоянни коефициенти (още веднъж) . . . 240
. . . . . . 3.2. Рекурентни редици . . . 243
. . . . . . 3.3. Малки трептения . . . 247
. . . § 4. Линейни уравнения с периодични коефициенти (теория на Флоке) . . . 249
. . . . . . 4.1. Логаритъм на матрица . . . 249
. . . . . . 4.2. Теорема на Флоке . . . 253
. . . . . . Допълнение към §4: Теорема за съществуване на реален логари­тъм . . . 258
Шеста глава. Автономни системи . . . 264
. . . § 1. Фазово пространство. Кинематична интерпретация на решения­та. Примери . . . 264
. . . § 2. Класификация на траекториите на автономните системи . . . 270
. . . § 3. Фазови портрети на линейните автономни системи в равнината. Класификация на особените точки . . . 274
. . . § 4. Еднопараметрични групи от трансформации. Фазов поток . . . 285
. . . . . . 4.1. Фазов поток . . . 285
. . . . . . 4.2. Локален поток . . . 289
. . . . . . 4.3. Формула на Лиувил . . . 290
. . . § 5. Инвариантни многообразия. Първи интеграли. Примери — сис­тема на Лотка — Волтера . . . 298
. . . . . . 5.1. Инвариантни многообразия . . . 298
. . . . . . 5.2. Първи интеграли . . . 301
. . . . . . 5.3. Система на Лотка — Волтера . . . 306
. . . § 6. Някои от класическите приложения на първите интеграли . . . 312
. . . . . . 6.1. Изследване на общото уравнение на Нютон върху числовата права . . . 312
. . . . . . 6.2. Задача на Кеплер . . . 328
. . . . . . 6.3. Задача за двете тела . . . 337
. . . . . . 6.4. Още един поглед към миналото: задача за брахистохроната . . . 338
. . . . . . Допълнение към §6: Формули за периода на махалото . . . 352
. . . . . . Д1. Формула за периода като функция на амплитудата . . . 352
. . . . . . Д2. Формула за периода като функция на началната скорост . . . 355
. . . § 7. Действие на дифеоморфизъм върху векторно поле . . . 359
. . . . . . 7.1. Основна дефиниция . . . 359
. . . . . . 7.2. Теорема за изправяне на векторно поле . . . 367
. . . . . . 7.3. Понятие за класификация на автономните системи . . . 370
Седма глава. Частни диференциални уравнения от първи ред . . . 379
. . . § 1. Линейни частни диференциални уравнения от първи ред . . . 379
. . . . . . 1.1. Форма на общото решение . . . 379
. . . . . . 1.2. Задача на Коши . . . 387
. . . § 2. Квазилинейни уравнения . . . 392
. . . . . . 2.1. Характеристики . . . 392
. . . . . . 2.2. Задача на Коши . . . 395
. . . § 3. Общи нелинейни частни диференциални уравнения от първи ред . . . 400
. . . . . . 3.1. Конус на Монж. Характеристична система . . . 400
. . . . . . 3.2. Задача на Коши . . . 407
Осма глава. Устойчивост в смисъл на Ляпунов . . . 414
. . . § 1. Теорема за устойчивост по първо приближение . . . 414
. . . § 2. Директен метод на Ляпунов . . . 423
. . . . . . 2.1. Функция на Ляпунов . . . 423
. . . . . . 2.2. Теорема на Лагранж — Дирихле . . . 427
. . . . . . 2.3. Заключителни бележки . . . 430
. . . § 3. Орбитална устойчивост . . . 434
. . . . . . 3.1. Дефиниции и формулировки . . . 434
. . . . . . 3.2. Изображение на Поанкаре . . . 438
. . . . . . 3.3. Дискретни динамични системи . . . 441
. . . . . . 3.4. Доказателство на теоремите от т. 3.1 . . . 443
. . . § 4. Метод на малкия параметър . . . 449
. . . . . . 4.1. Структурна устойчивост на периодичните атрактори . . . 449
. . . . . . 4.2. Един важен случай на израждане . . . 452
. . . § 5. Теория на Поанкаре — Бендиксон . . . 458
. . . . . . 5.1. Гранични множества . . . 458
. . . . . . 5.2. Теорема на Поанкаре — Бендиксон . . . 467
Литература . . . 471
Предметен указател . . . 473